Vivimos en un mundo finito. Desde Aristóteles se decía que en realidad no se puede alcanzar el infinito. No nos confundamos; El infinito existe mientras podamos pensar en llenar una caja con tantos objetos como queramos. (siempre que quepan), pero Nunca podremos tener una caja con objetos INFINITOS. Esta es la diferencia entre potencial infinito (el que me permite pensar en números cada vez más grandes) y el infinito actual (el requerido para pensar en la caja con infinitos objetos).
Las matemáticas no son ajenas a la dicotomía de los infinitos explicada anteriormente. Para poder trabajar con el infinito en Matemáticas hubo que esperar hasta finales del siglo XIX y principios del XX. En concreto, en el momento en que Georg Cantor introduce la teoría de conjuntos para poder “domesticar” el infinito. Una teoría rompedora (en aquel momento) que supuso la apertura de las matemáticas a un campo completamente nuevo y, como no podía ser de otra manera, infinito.
Pero incluso esta magnífica teoría tiene una limitación. Y para tratar el infinito, el infinito mismo debe incluirse como axioma. Es decir, si no incluimos la presencia, aunque sea primordial, de algo infinito, la Teoría de Conjuntos se queda en lo que decía Aristóteles: el infinito potencial.
Cantor nos trajo el infinito y sus diferentes tamaños al mundo de las matemáticas. Pero con ello también trajo más cosas. Ese acto de fe (digámoslo así) que hay que dar para pasar de lo finito al infinito actual también se puede dar en el campo de lo infinito. Así surgen los objetos que en matemáticas llamamos Grandes cardenales.
Un Gran Cardenal es, dicho de manera un tanto cruda, un infinito tan grandeque ni siquiera se puede construir como lo hace normalmente Cantor. Si sólo nos quedamos con la Teoría de Conjuntos tradicional (lo que hoy llamamos ZFC) los argumentos de Cantor nos permiten construir infinitos a partir de otros infinitos… pero con limitaciones. Para llegar a un Gran Cardenal es necesario introducirlo como un nuevo axioma (tal como se introdujo el axioma del infinito para llenar el cuadro).
Hasta ahora, todos los Grandes Cardenales que se han construido o no eran consistentes con lo que era antes (su mera existencia nos llevó a algún absurdo), o dos de ellos podían ser “comparados” (o uno implica el otro, o el otro el uno, o eran equivalentes). Se podría decir que los Grandes Cardenales fueron, en cierto sentido, ordenado jerárquicamente.
Este tema fascinante para los matemáticos ha cobrado nueva vida con un artículo reciente titulado “Large Cardinals, Structural Reflection, and the HOD Conjecture”, publicado por Juan P. Aguilera, Joan Bagaria y Philipp Lücke. En el artículo reciente parece que Construyen nuevos Grandes Cardenales que, cuando intentan incorporarse a la estructura jerárquica anterior, directamente no encajan. Esto sugiere que, al al igual que las proteínasel infinito puede tener estructuras subyacentes muy complejas que aún no hemos vislumbrado para verya que, hasta ahora, Apenas hemos percibido las capas superficiales de esta estructura..
Los autores introducen nuevos tipos de cardenales, llamados cardenales exactos y ultraprecisocual plantear preguntas profundas sobre la estructura del universo matemático. Profundicemos en sus hallazgos y analicemos qué significa este descubrimiento.
Los cardenales exactos Aparecen como una forma más débil de cardenales Rank-Berkeleypero más fuerte que cardenales jónsson. Estos cardenales introducen nuevas formas de reflexionar sobre la jerarquía del infinito. Según el artículo, si hay un cardinal exacto, entonces el universo matemático V no es igual a HOD (el conjunto de objetos ordinalmente definibles), lo que marca un importante cambio de paradigma.
Por otra parte, el cardenales ultraprecisos Son una versión aún más refinada. Estos no sólo implican el fracaso de conjeturas como la de Woodin sobre HOD, sino que también interactúan con otros axiomas fuertes de maneras sorprendentes. Los autores muestran que si existe un cardinal ultraexacto más pequeño que un cardinal mensurable, se pueden construir estructuras matemáticas extremadamente fuertes (llamadas inclusión tipo I0), rompiendo la idea tradicional de que los cardinales grandes siguen un orden lineal simple en su jerarquía.
Sin embargo, Hay un pequeño detalle del que ya advierten algunos expertos. Aparentemente, en el artículo, los autores no tienen pruebas de la coherencia de estos nuevos Grandes Cardenales: No saben si su existencia concuerda con lo anterior o no.. Esa tricotomía (que dos Grandes Cardenales o son equivalentes, o uno implica al otro, o el otro implica al uno) sólo puede aplicarse después de saber si los nuevos grandes Cardenales son consistentes o no. Y sin una prueba de consistencia, no puedes jugar este juego.
